中学物理课本给出了匀速圆周运动的公式:

F = ma = mV²/R

但课本没有说这个公式是怎么来的,只是说经过大量研究表明如此这般。这个公式到了大学用矢量力学和矢量微分证出。其实,高中已经讲到了向量(矢量),今天我们就尝试用初等数学的方法来推导这个公式。

匀速圆周运动有两个显著的特点:

1、质点的速度大小不变,但方向时时在改变。

2、加速度的大小不变,但方向也时时在改变。

速度方向的改变正是由加速度引起的。我们考察质点从圆周上的P点运行到圆周上的Q点这一小段圆弧的变化过程,假设花的时间为Δt。质点在P点和Q点的速率是一样的,均为v,但方向不一样,夹角为α,根据矢量合成,速度的变化为Δv,方向近似指向圆心,当 α → 0,方向为法向,即指向圆心。在矢量三角形中,我们有了以下的计算。

矢量三角形示意图和运算

现在,我们要证明:

当Δt → 0,即α → 0 时,sin(α/2)=α/2

让我们回想一下,祖冲之是怎么计算圆周率的:就是用圆内接等边 n 边形的周长除以直径。当 n 足够大时,多边形的周长就近似等于圆周长。假设 n 趋于无穷大,两者就相等了。

当 n 足够大(即 α 足够小)时,圆周长S 等于 n 边形周长,我们得到一个重要的结论:α/2 = sin(α/2)。

有了这个结论,回到上面的加速度运算,我们即可得出向心加速度的公式:a = V²/R