初学二次函数,学生对二次函数的图像和性质理解掌握的不好,应用过程中漏洞百出,学习压力比较大。我现在把教学中总结出来的二次函数的图像与性质和系数a、b、c的关系巧记口诀分享给大家。

二次函数图像与性质速记口诀:

二次函数抛物线,图像对称是关键。开口大小和方向,全部由a来决断,a正朝上负朝下绝对值越大口越小。对称轴很矫情,a、b合伙才能定, y轴作为参考线,同左异右定位置。y轴交点由c定,x轴作为参考线, c正在上负在下,c等于0过原点。 顶点坐标最重要一般式配方得到它,横坐标即对称轴,纵坐标恰好是最值。

现在我结合上面的口诀具体解释一下:

关于a:

a与二次函数图像的关系看两部分:符号和绝对值大小。

符号:“a正朝上负朝下”,正号(a>0)抛物线开口向上,负号(a<0)抛物线开口向下。反过来也可以根据抛物线的开口方向确定a的符号。

绝对值大小:“绝对值越大口越小”,a的绝对值越大,抛物线开口越小。a的绝对值越小,抛物线开口越大。反过来也可以根据抛物线的开口大小确定a的绝对值的大小。

关于b:

b不能单独判断,要与a结合判断,口诀中说“同左异右定位置”。同异是指a、b的符号是同号还是异号,左右是指抛物线对称轴在x轴的左右。如果a、b同号,则对称轴在y轴的左侧;如果a、b异号,则对称轴在y轴的右侧。这里还可以补充一句“左同右异定符号”,就是说,如果对称轴在轴的左侧,则a、b同号;如果对称轴在轴的右侧,则a、b异号。必须要得一提的是如果对称轴是y轴,则b=0 。

二次函数图像抛物线的对称轴为直线x= -b/2a .

补充一点:a、b结合还可以判断二次函数的增减性:

当a>0时,在对称轴左边(即当x<-b/2a时),y随x的增大而减小;在对称轴右边(即当x>-b/2a时),y随x的增大而增大。

当a<0时,在对称轴左边(即当x<-b/2a时),y随x的增大而增大;在对称轴右边(即当x>-b/2a时),y随x的增大而减小。

关于c:

c表示抛物线与y轴的交点的纵坐标,抛物线与y轴相交,图像过(0,c)点。“c正在上负在下”,如果c>0,抛物线与y轴的交点在轴的正半轴上;如果c<0,抛物线与y轴的交点在轴的负半轴上;“c等于0过原点”如果c=0,则抛物线经过原点。反过来,也可以用抛物线与y轴交点的位置来判断c的符号。

a、b、c结合起来判断抛物线与x轴交点的个数。Δ=b2-4ac,当b2-4ac>0时,抛物线与x轴有2个交点;当b2-4ac=0时,抛物线与x轴有1个交点;当b2-4ac<0时,抛物线与x轴没有交点。

最后附上一张二次函数图像与性质的归纳图。