最小的一位数是0还是1?

 

这个问题在很长一段时间存在争论。先来看看《九年义务教育六年制小学数学第八册教师教学用书》第98页“关于几位数”的叙述:“通常在自然数里,含有几个数位的数,叫做几位数。例如“2”是含有一个数位的数,叫做一位数;“30”是含有两个数位的数,叫做两位数;“405”是含有三个数位的数,叫做三位数……但是要注意:一般不说0是几位数。

 

再来听听专家的说明:在自然数的理论中,对“几位数”是这样定义的,“只用一个有效数字表示的数,叫做一位数;只用两个数字(其中左边第一个数字为有效数字)表示的数,叫做两位数……所以,在一个数中,数字的个数是几(其中最左边第一个数字为有效数字),这个数就叫几位数。

 

于此,所谓最大的几位数,最小的几位数,通常是在非零自然数的范围研究。所以一位数共有九个,即:1、2、3、4、5、6、7、8、9。

 

0不是最小的一位数。

 


   

为什么0也是自然数?

   

课标教材对“0也是自然数”的规定,颠覆了人们对自然数的传统认识。

 

于此,中央教科所教材编写组主编陈昌铸如是说:国际上对自然数的定义一直都有不同的说法,以法国为代表的多数国家都认为自然数从0开始,我国教材以前一直都是遵循前苏联的说法,认为0不是自然数。2000年教育部主持召开教材改编会议时,已明确提出将0归为自然数。这次改版也是与国际惯例接轨。

 

从教学实践层面来说,将“0”规定为“自然数”也有着积极的现实意义。

 

 “0”作为自然数的“好处”

众所周知,数学中的集合被分为有限集合和无限集合两类。有限集合是含有有限个元素的集合,像某班学生的集合。无限集合是含有的元素个数是非有限的集合,如分数的集合。因为自然数具有“基数”的性质,因此用自然数来描述有限集合中元素的个数是很自然的。

 

但在有限集合中,有一个最主要也是最基本的集合,叫空集{},元素个数为0。如果不把0作为自然数,那么空集的元素的个数就无法用自然数来表示了。如果把“0”作为一个自然数,那么自然数就可以完成刻画“有限集合元素个数”的任务了。于此,从“自然数的基数性”这个角度,我们看到了把“0”作为自然数的好处。

 

 把“0”作为自然数,不会影响自然数的“运算功能”

“0”加入传统的自然数集合,所有的“运算规则”依旧保持,如新自然数集合{0,1,2,…,n,…}中的任何两个自然数都可以进行加法和乘法运算,而运算结果仍然是自然数。同时,加法、乘法运算的结合律和交换律,以及乘法的分配律也不会受到影响。

 

所以,“0”加盟到自然数集合实属理所当然,而不仅仅是人为的“规定”。它让我们更好地理解自然数和它的功能,同时也让我们意识到教学时不仅要知道和记住数学的“定义”和“规定”,还应该思考“规定”背后的数学涵义。

 

 

什么是有效数字一无效数字?

 

有效数字是对一个数的近似值的精确程度而提出的。同一个近似数如果在取舍时,保留的有效数字多,就比保留的有效数字少更精确。

 

一般说,一个近似数四舍五入到哪一位,就说这个近似数精确到哪一位。这时,从左边第一个非零的数字起,到那一位上的所有数字都叫做这个数的有效数字。

 

如近似数0.00309有三个有效数字:3、0、9;0.520也有三个有效字:5、2、0。

 

而0.00309中左边的三个零,0.520中左边的一个零,都叫做无效数字。

 

 

加法与减法、乘法与除法是否互为逆运算?

 

“加法与减法互为逆运算、乘法与除法互为逆运算”这似乎成了许多老师的口头禅,这其实是一种误解。例如:

 

加法“2+3=5”,其逆算为“5-2=3”,“5-3=2”。

 

故此,加法的逆运算只有减法;

 

减法“5-2=3”,其逆算有“5-3=2”,“2+3=5”。

 

故此,减法的逆运算有减法和加法两种运算。

 

综上可知,只能说减法是加法的逆运算,而不能说加法与减法互为逆运算。

 

同理,也只能说除法是乘法的逆运算,而不能说乘法与除法互为逆运算。

 

 

为什么不写“倍”?

 

在学习“求一个数是另一个数的几倍”应用题时,很多小朋友会自然提出这样的疑问,如:“饲养小组养了12只小鸡,3只小鸭,小鸡的只数是小鸭的几倍?”为什么“12÷3=4”的后面不写“倍”呢?

 

我们首先应该肯定学生的质疑(学生有较强的解题规范意识)。但同时又该对学生说明:在解答应用题时,得数后面一般要写上的是数的单位名称

 

如:12只的“只”;8克的“克”。一个数只有带上单位名称,才能准确地表示出一个物体的多少、大小、长短、轻重等等。但是,“倍”不是单位名称,它表示两个数量之间的一种关系。例如,上面的计算结果“4”,表示12里面有4个3,就是12只小鸡是3只小鸭的4倍。

 

所以,在算式里不写“倍”,以免“倍”与单位名称发生混淆。

 

 

“倍”和“倍数”的区别

 

在第一学段我们学习了“倍的初步认识”,认识了概念“倍”,而在第二学段,我们又学习到“倍数”这个概念。那么,“倍”和“倍数”这两个词到底是不是一回事呢?这两个词之间有什么区别呢?

 

“倍”指的是数量关系,它建立在乘除法概念的基础上。例如:男生有10人,女生有30人,因为“10×3=30”或者“30÷10=3”,我们就说,女生人数(30)是男生人数(10)的3倍,也可以说,男生人数(10)的3倍等于女生人数(30)。勿宁说,“倍”其实表示的是两个数的商(这个商可以是整数、小数、分数等各种表现形式)。

 

“倍数”指的是数与数之间的联系,它建立在整除概念的基础上。例如,30能被6整除,30就是6的倍数。可见,“倍数”是不能独立存在的(具有特定的指向性),而且对数的形式有特别的要求(必须为整数)。

 

同时我们又看到,30也是6的5倍,因为6×5=30,“6×5”表示6的5倍。所以从这个角度来说,“倍”的涵义应宽泛于“倍数”,后者可以视为前者在特定情形下的一种表现。