要想学好微积分,首先就要学好导数,因为导数概念是微积分的核心概念之一,它有极其丰富的实际背景和广泛的应用。很多人不知道,微积分的创立可以说是数学发展过程中的里程碑,它的发展和广泛应用开创了向近代数学过渡的新时期,为研究变量和函数提供了重要的方法和手段。

因此,无论是高中数学学习,还是将来大学时期高等数学的学习,都要求很多人必须学好导数这一块内容。

纵观近几年高考数学试卷,导数的几何意义是导数的重要考点之一,常常和其他知识综合在一起进行考查。

典型例题分析1:

已知函数f(x)=x-2/x,g(x)=a(2-ln x)(a>0).若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)在x=1处的切线斜率相同,求a的值,并判断两条切线是否为同一条直线.

解:根据题意有

曲线y=f(x)在x=1处的切线斜率为f′(1)=3,

曲线y=g(x)在x=1处的切线斜率为g′(1)=-a.

所以f′(1)=g′(1),即a=-3.

曲线y=f(x)在x=1处的切线方程为y-f(1)=3(x-1),

得:y+1=3(x-1),

即切线方程为3x-y-4=0.

曲线y=g(x)在x=1处的切线方程为y-g(1)=3(x-1).

得y+6=3(x-1),

即切线方程为3x-y-9=0,

所以,两条切线不是同一条直线.

导数的几何意义伴随着导数进入高中数学教材后,给函数图象及性质的研究开辟了一条新的途径。我们知道,函数y=f(x)在点x0处的导数的几何意义是:曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线的斜率k等于f′(x0)。

利用导数的几何意义,可以用来求解曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线的斜率、切点、切线方程、参数等问题。

把握导数几何意义的常用类型问题,对于学生学好导数有着极其重要的意义。

典型例题分析2:

设函数f(x)=axn(1-x)+b(x>0),n为正整数,a,b为常数.曲线y=f(x)在(1,f(1))处的切线方程为x+y=1.

(1)求a,b的值;

(2)求函数f(x)的最大值.