第四组(见下图)

(1)这个图通常叫五角星

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小学奥数知识点:一笔画问题

五个角的顶点各与两条线相连,其他各点都各与四条线相连.

(2)由一个圆及一个内接三角形构成.

三个交点,每个点都与四条线相连(这四条线是两条线段和两条弧线).

(3)一个正方形和一个内切圆构成.

正方形的四个顶点各与两条线相连,四个交点各与四条线相连.

(四条线是两条线段和两条弧线).

第四组的三个图虽然比较复杂,但每一个图都可以一笔画成,而且画的时候从任何一点开始画都可以.第五组(见下图)

小学奥数知识点:一笔画问题

(1)这是“品”字图形,它由三个正方形构成,它们之间没有线相连.

(2)这是古代的钱币图形,它是由一个圆形和中间的正方形方孔组成.圆和正方形之间没有线相连.

第五组的两个图形叫不连通图,显然不能一笔把这样的不连通图画出来.

进行总结、归纳,看能否找出可以一笔画成的图形的共同特点,为方便起见,把点分为两种,并分别定名:

把和一条、三条、五条等奇数条线相连的点叫做奇点;把和两条、四条、六条等偶数条线相连的点叫偶点,这样图中的要么是奇点,要么是偶点.

提出猜想:一个图能不能一笔画成可能与它包含的奇点个数有关,对此列表详查:

小学奥数知识点:一笔画问题

从此表来看,猜想是对的.下面试提出几点初步结论:

①不连通的图形必定不能一笔画;能够一笔画成的图形必定是连通图形.

②有0个奇点(即全部是偶点)的连通图能够一笔画成.(画时可以任一点为起点,最后又将回到该点).

③只有两个奇点的连通图也能一笔画成(画时必须以一个奇点为起点,而另一个奇点为终点);

④奇点个数超过两个的连通图形不能一笔画成.最后,综合成一条判定法则:

有0个或2个奇点的连通图能够一笔画成,否则不能一笔画成.

能够一笔画成的图形,叫做“一笔画”.

用这条判定法则看一个图形是不是一笔画时,只要找出这个图形的奇点的个数来就能行了,根本不必用笔试着画来画去.

看看下面的图可能会加深你对这条法则的理解.

小学奥数知识点:一笔画问题

从画图的过程来看:笔总是先从起点出发,然后进入下一个点,再出去,然后再进出另外一些点,一直到最后进入终点不再出来为止.由此可见:

①笔经过的中间各点是有进有出的,若经过一次,该点就与两条线相连,若经过两次则就与四条线相连等等,所以中间点必为偶点.

②再看起点和终点,可分为两种情况:如果笔无重复地画完整个图形时最后回到起点,终点和起点就重合了,那么这个重合点必成为偶点,这样一来整个图形的所有点必将都是偶点,或者说有0个奇点;如果笔画完整个图形时最后回不到起点,就是终点和起点不重合,那么起点和终点必定都是奇点,因而该图必有2个奇点,可见有0个或2个奇点的连通图能够一笔画成.