判断一笔画的方法:

①是连通的。一个图,如果图上任意二点总有线段连接着,就称为连通的。不是连通的就不能一笔画出。

②奇点个数是0或者是2。图上线段的端点可以分成二类,奇点和偶数。一个点,以它为端点的线段数是奇数就称为奇点,线段数是偶数就称为偶点。

一个图是否是一笔画就看奇点的个数,奇点个数是 0 或者 2,就是一笔画,否则就不是一笔画。

哥尼斯桥问题,就是一笔画问题。但因A、B、C、D四个点都是奇点即奇点的个数是4,而不是0或2,所以不是一笔画,也就不能一次走遍,而又不重复。

例:一天,小明做完作业正在休息,收音机中播放着轻松、悦耳的音乐.他拿了支笔,信手在纸上写了“中”、“日”、“田”几个字.突然,他脑子里闪出一个念头,这几个字都能一笔写出来吗?

解:他试着写了写,“中”和“日”可以一笔写成(没有重复的笔划),但写到“田”字,试来试去也没有成功.下面是他写的字样.(见下图)

小学奥数知识点:一笔画问题

这可真有意思!由此他又联想到一些简单的图形,哪个能一笔画成,哪个不能一笔画成呢?下面是他试着画的图样.(见下图)

小学奥数知识点:一笔画问题

经过反复试画,小明得到了初步结论:图中的(1)、(3)、(5)能一笔画成;(2)、(4)、(6)不能一笔画成.真奇怪!小明发现,简单的笔画少的图不一定能一笔画得出来.而复杂的笔画多的图有时反倒能够一笔画出来,这其中隐藏着什么奥秘呢?小明进一步又提出了如下问题:

如果说一个图形是否能一笔画出不决定于图的复杂程度,那么这事又决定于什么呢?

能不能找到一条判定法则,依据这条法则,对于一个图形,不论复杂与否,也不用试画,就能知道是不是能一笔画成?

先从最简单的图形进行考察.一些平面图形是由点和线构成的.这里所说的“线”,可以是直线段,也可以是一段曲线.而且为了明显起见,图中所有线的端点或是几条线的交点都用较大的黑点“●”表示出来了.

首先不难发现,每个图中的每一个点都有线与它相连;有的点与一条线相连,有的点与两条线相连,有的点与3条线相连等等.

其次从前面的试画过程中已经发现,一个图能否一笔画成不在于图形是否复杂,也就是说不在于这个图包含多少个点和多少条线,而在于点和线的连接情况如何——一个点在图中究竟和几条线相连.

看来,这是需要仔细考察的.第一组(见下图)

(1)两个点,一条线.

小学奥数知识点:一笔画问题

每个点都只与一条线相连.

(2)三个点.

小学奥数知识点:一笔画问题

两个端点都只与一条线相连,中间点与两条线连.

第一组的两个图都能一笔画出来.

(但注意第(2)个图必须从一个端点画起)第二组(见下图)

(1)五个点,五条线.

A点与一条线相连,B点与三条线相连,其他的点都各与两条线相连.

小学奥数知识点:一笔画问题

(2)六个点,七条线.(“日”字图)

A点与B点各与三条线相连,其他点都各与两条线相连.

小学奥数知识点:一笔画问题

第二组的两个图也都能一笔画出来,如箭头所示那样画.即起点必需是A点(或B点),而终点则定是B点(或A点).